5 Turnout: logit/probit models for binary data
5.1 Data
The data comprise the first 2,000 (of 15,000+) observations in the 1992 American National Election Studies (ANES).
These data are included in the Zelig package as turnout and analyzed in King, Tomz, and Wittenberg (2000).
data("turnout", package = "Zelig")
glimpse(turnout)
#> Observations: 2,000
#> Variables: 5
#> $ race <fct> white, white, white, white, white, white, white, white...
#> $ age <int> 60, 51, 24, 38, 25, 67, 40, 56, 32, 75, 46, 52, 22, 60...
#> $ educate <dbl> 14, 10, 12, 8, 12, 12, 12, 10, 12, 16, 15, 12, 12, 12,...
#> $ income <dbl> 3.346, 1.856, 0.630, 3.418, 2.785, 2.387, 4.286, 9.320...
#> $ vote <int> 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, ...We will model voting turnout as a function of covariates (age, education, income, race).
5.2 Logit Model
Let \(y_i \in \{0, 1\}\) be the decision to vote by respondent \(i\) for \(i \in 1, \dots, n\), \[ \begin{aligned}[t] y_i &\sim \mathsf{Bernoulli}(\pi_i) , \\ \pi_i &= \frac{1}{1 + e^{-\eta_i}} , \\ \eta_i &= \alpha + x_i \beta, \end{aligned} \] where \(x_i\) is a vector of covariates. The regression parameters, \(\alpha\) and \(\beta\), are given weakly informative priors on the logit scale, \[ \begin{aligned}[t] \alpha &\sim \mathsf{Normal}(0, 16) , \\ \beta_k &\sim \mathsf{Normal}(0, 4) . \end{aligned} \]
The logit model in Stan is
data {
// response
int N;
int y[N];
// covariates
int K;
matrix[N, K] X;
// priors
real alpha_loc;
real alpha_scale;
vector[K] beta_loc;
vector[K] beta_scale;
}
parameters {
real alpha;
vector[K] beta;
}
transformed parameters {
// linear predictor
vector[N] eta;
eta = alpha + X * beta;
}
model {
alpha ~ normal(alpha_loc, alpha_scale);
beta ~ normal(beta_loc, beta_scale);
// y ~ bernoulli(inv_logit(eta));
// this is faster and more numerically stable
y ~ bernoulli_logit(eta);
}
generated quantities {
// log-likelihood of each obs
vector[N] log_lik;
// probability
vector[N] mu;
for (i in 1:N) {
mu[i] = inv_logit(eta[i]);
log_lik[i] = bernoulli_logit_lpmf(y[i] | eta[i]);
}
}
turnout_data <- within(list(), {
N <- nrow(turnout)
X <- scale(model.matrix(update(turnout_formula, . ~ 0 + .),
data = turnout))
K <- ncol(X)
y <- turnout$vote
alpha_loc <- 0
alpha_scale <- 10
beta_loc <- rep(0, K)
beta_scale <- rep(2.5, K)
})turnout_fit_logit
#> Inference for Stan model: logit.
#> 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
#> post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
#>
#> mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75%
#> alpha 1.28 0.00 0.06 1.17 1.24 1.28 1.32
#> beta[1] 0.48 0.00 0.06 0.37 0.44 0.47 0.51
#> beta[2] -0.21 0.00 0.05 -0.31 -0.25 -0.21 -0.17
#> beta[3] 0.60 0.00 0.07 0.46 0.55 0.60 0.64
#> beta[4] 0.43 0.00 0.08 0.27 0.38 0.43 0.49
#> beta[5] -0.06 0.04 1.76 -3.57 -1.24 -0.06 1.08
#> beta[6] 0.04 0.04 1.76 -3.44 -1.15 0.04 1.17
#> eta[1] 2.12 0.00 0.11 1.90 2.05 2.12 2.20
#> eta[2] 1.02 0.00 0.10 0.82 0.95 1.01 1.09
#> eta[3] 0.02 0.00 0.12 -0.23 -0.06 0.02 0.10
#> eta[4] 0.46 0.00 0.11 0.26 0.39 0.46 0.54
#> eta[5] 0.41 0.00 0.09 0.22 0.35 0.41 0.47
#> eta[6] 1.68 0.00 0.10 1.47 1.61 1.68 1.75
#> eta[7] 1.39 0.00 0.08 1.24 1.33 1.39 1.44
#> eta[8] 2.27 0.00 0.19 1.90 2.14 2.27 2.40
#> eta[9] 0.96 0.00 0.07 0.82 0.91 0.96 1.01
#> eta[10] 2.42 0.00 0.18 2.07 2.29 2.41 2.54
#> eta[11] 3.20 0.00 0.22 2.77 3.06 3.19 3.34
#> eta[12] 2.44 0.00 0.16 2.12 2.33 2.44 2.55
#> eta[13] 0.06 0.00 0.12 -0.17 -0.02 0.06 0.14
#> eta[14] 1.29 0.00 0.13 1.03 1.21 1.29 1.38
#> eta[15] 0.94 0.00 0.10 0.74 0.87 0.94 1.01
#> eta[16] 0.03 0.00 0.11 -0.19 -0.04 0.03 0.11
#> eta[17] 1.39 0.00 0.09 1.22 1.33 1.39 1.45
#> eta[18] 0.97 0.00 0.10 0.77 0.90 0.96 1.04
#> eta[19] 1.16 0.00 0.16 0.84 1.04 1.16 1.27
#> eta[20] 0.55 0.00 0.11 0.33 0.48 0.55 0.63
#> eta[21] 1.75 0.00 0.17 1.42 1.64 1.75 1.87
#> eta[22] 0.87 0.00 0.08 0.72 0.82 0.87 0.93
#> eta[23] 2.40 0.00 0.14 2.13 2.31 2.40 2.50
#> eta[24] 1.04 0.00 0.08 0.88 0.99 1.04 1.10
#> eta[25] 2.49 0.00 0.13 2.24 2.40 2.49 2.57
#> eta[26] 2.94 0.00 0.19 2.56 2.81 2.93 3.06
#> eta[27] 1.23 0.00 0.11 1.02 1.16 1.23 1.31
#> eta[28] 1.46 0.00 0.08 1.30 1.40 1.46 1.52
#> eta[29] -0.88 0.00 0.15 -1.18 -0.99 -0.88 -0.78
#> eta[30] 2.04 0.00 0.23 1.59 1.89 2.04 2.19
#> eta[31] 1.43 0.00 0.14 1.16 1.34 1.43 1.52
#> eta[32] 1.41 0.00 0.08 1.27 1.36 1.41 1.47
#> eta[33] 0.37 0.00 0.14 0.09 0.28 0.37 0.47
#> eta[34] 1.04 0.00 0.10 0.86 0.98 1.04 1.11
#> eta[35] 0.43 0.00 0.19 0.05 0.30 0.43 0.56
#> eta[36] 0.99 0.00 0.07 0.85 0.93 0.98 1.04
#> eta[37] 1.92 0.00 0.10 1.73 1.85 1.92 1.98
#> eta[38] -0.52 0.00 0.15 -0.82 -0.63 -0.52 -0.42
#> eta[39] 0.57 0.00 0.20 0.19 0.44 0.57 0.70
#> eta[40] 2.22 0.00 0.11 2.01 2.14 2.22 2.29
#> eta[41] 1.95 0.00 0.13 1.69 1.86 1.94 2.04
#> eta[42] 0.41 0.00 0.14 0.14 0.32 0.42 0.51
#> eta[43] 0.37 0.00 0.11 0.15 0.30 0.37 0.45
#> eta[44] 1.97 0.00 0.10 1.78 1.91 1.97 2.04
#> eta[45] 0.58 0.00 0.10 0.38 0.51 0.58 0.65
#> eta[46] 0.37 0.00 0.10 0.17 0.31 0.37 0.44
#> eta[47] 1.19 0.00 0.15 0.90 1.08 1.18 1.29
#> eta[48] 0.55 0.00 0.12 0.31 0.46 0.55 0.63
#> eta[49] 0.88 0.00 0.12 0.65 0.80 0.88 0.96
#> eta[50] -0.05 0.00 0.15 -0.34 -0.16 -0.05 0.05
#> eta[51] 0.75 0.00 0.16 0.44 0.64 0.75 0.86
#> eta[52] 1.39 0.00 0.11 1.17 1.32 1.39 1.46
#> eta[53] 1.81 0.00 0.11 1.59 1.73 1.81 1.89
#> eta[54] 1.27 0.00 0.18 0.92 1.15 1.26 1.39
#> eta[55] 0.68 0.00 0.08 0.53 0.63 0.68 0.74
#> eta[56] 0.70 0.00 0.08 0.55 0.64 0.70 0.75
#> eta[57] 1.45 0.00 0.08 1.31 1.40 1.45 1.51
#> eta[58] 1.95 0.00 0.13 1.69 1.86 1.95 2.04
#> eta[59] 3.10 0.01 0.28 2.55 2.92 3.10 3.29
#> eta[60] 2.63 0.00 0.15 2.34 2.53 2.62 2.73
#> eta[61] 0.88 0.00 0.12 0.64 0.80 0.88 0.96
#> eta[62] 1.77 0.00 0.09 1.58 1.70 1.77 1.83
#> eta[63] 1.77 0.00 0.11 1.56 1.70 1.77 1.84
#> eta[64] 2.12 0.00 0.12 1.89 2.04 2.12 2.20
#> eta[65] 0.71 0.00 0.11 0.50 0.63 0.71 0.78
#> eta[66] 2.74 0.00 0.24 2.29 2.58 2.74 2.90
#> eta[67] 1.85 0.00 0.15 1.56 1.74 1.85 1.95
#> eta[68] -0.34 0.00 0.13 -0.59 -0.42 -0.34 -0.25
#> eta[69] 1.68 0.00 0.19 1.31 1.55 1.68 1.81
#> eta[70] 1.90 0.00 0.13 1.65 1.82 1.90 1.99
#> eta[71] 0.87 0.00 0.11 0.66 0.80 0.88 0.95
#> eta[72] 2.68 0.00 0.14 2.41 2.58 2.68 2.77
#> eta[73] 3.49 0.00 0.21 3.09 3.34 3.48 3.62
#> eta[74] 0.37 0.00 0.15 0.09 0.27 0.38 0.47
#> eta[75] 1.51 0.00 0.10 1.33 1.45 1.51 1.58
#> eta[76] 1.72 0.00 0.09 1.54 1.65 1.72 1.78
#> eta[77] 0.85 0.00 0.11 0.64 0.78 0.85 0.93
#> eta[78] 0.74 0.00 0.17 0.42 0.63 0.75 0.85
#> eta[79] 1.81 0.00 0.09 1.63 1.75 1.81 1.87
#> eta[80] 0.26 0.00 0.17 -0.06 0.14 0.26 0.37
#> eta[81] 0.89 0.00 0.15 0.58 0.79 0.89 0.99
#> eta[82] 1.22 0.00 0.10 1.03 1.15 1.22 1.28
#> eta[83] 0.68 0.00 0.19 0.32 0.56 0.68 0.81
#> eta[84] 1.50 0.00 0.16 1.19 1.40 1.51 1.62
#> eta[85] 1.45 0.00 0.18 1.10 1.32 1.44 1.57
#> eta[86] 1.04 0.00 0.10 0.86 0.97 1.04 1.11
#> eta[87] 0.28 0.00 0.19 -0.09 0.16 0.28 0.41
#> eta[88] 0.49 0.00 0.11 0.27 0.41 0.49 0.56
#> eta[89] 0.31 0.00 0.14 0.03 0.22 0.31 0.41
#> eta[90] 1.36 0.00 0.11 1.16 1.29 1.36 1.44
#> eta[91] 1.97 0.00 0.18 1.62 1.84 1.97 2.09
#> eta[92] 1.36 0.00 0.08 1.21 1.31 1.36 1.41
#> eta[93] 1.99 0.00 0.14 1.72 1.89 1.99 2.08
#> eta[94] 1.84 0.00 0.16 1.51 1.73 1.84 1.94
#> eta[95] 1.38 0.00 0.13 1.12 1.29 1.38 1.47
#> eta[96] 0.32 0.00 0.15 0.02 0.22 0.32 0.42
#> eta[97] 2.05 0.00 0.11 1.84 1.98 2.04 2.12
#> eta[98] 0.83 0.00 0.07 0.69 0.78 0.83 0.88
#> eta[99] 0.48 0.00 0.13 0.23 0.39 0.47 0.57
#> eta[100] 1.77 0.00 0.09 1.60 1.71 1.77 1.84
#> eta[101] 0.67 0.00 0.10 0.48 0.60 0.66 0.73
#> eta[102] 0.98 0.00 0.17 0.65 0.86 0.97 1.09
#> eta[103] 2.58 0.00 0.14 2.30 2.49 2.58 2.68
#> eta[104] 0.96 0.00 0.10 0.78 0.89 0.96 1.02
#> eta[105] 0.86 0.00 0.15 0.57 0.76 0.86 0.96
#> eta[106] 1.71 0.00 0.18 1.36 1.59 1.71 1.84
#> eta[107] 1.78 0.00 0.09 1.61 1.72 1.78 1.84
#> eta[108] 2.48 0.00 0.13 2.23 2.39 2.48 2.57
#> eta[109] 0.73 0.00 0.08 0.58 0.68 0.73 0.78
#> eta[110] 1.88 0.00 0.12 1.65 1.80 1.88 1.96
#> eta[111] 2.93 0.00 0.16 2.63 2.82 2.93 3.04
#> eta[112] 1.97 0.00 0.11 1.75 1.89 1.96 2.04
#> eta[113] 1.60 0.00 0.10 1.41 1.54 1.60 1.67
#> eta[114] 0.79 0.00 0.10 0.59 0.72 0.79 0.86
#> eta[115] 1.55 0.00 0.19 1.18 1.42 1.55 1.68
#> eta[116] 1.71 0.00 0.11 1.49 1.64 1.71 1.79
#> eta[117] 1.61 0.00 0.10 1.43 1.55 1.61 1.68
#> eta[118] 1.36 0.00 0.09 1.19 1.30 1.36 1.42
#> eta[119] 1.30 0.00 0.09 1.14 1.24 1.30 1.36
#> eta[120] 1.00 0.00 0.09 0.83 0.94 1.00 1.06
#> eta[121] 1.11 0.00 0.11 0.89 1.04 1.11 1.18
#> eta[122] 1.10 0.00 0.10 0.91 1.04 1.10 1.17
#> eta[123] 0.91 0.00 0.08 0.75 0.85 0.91 0.96
#> eta[124] 0.35 0.00 0.12 0.11 0.27 0.35 0.43
#> eta[125] 2.46 0.00 0.16 2.14 2.35 2.45 2.56
#> eta[126] 1.10 0.00 0.09 0.93 1.04 1.10 1.16
#> eta[127] 1.99 0.00 0.10 1.80 1.92 1.99 2.06
#> eta[128] 0.00 0.00 0.14 -0.27 -0.10 0.00 0.09
#> eta[129] 2.09 0.00 0.11 1.88 2.02 2.09 2.17
#> eta[130] 1.78 0.00 0.10 1.59 1.71 1.78 1.85
#> eta[131] 0.34 0.00 0.10 0.15 0.28 0.34 0.41
#> eta[132] 0.00 0.00 0.16 -0.32 -0.11 0.00 0.11
#> eta[133] 0.24 0.00 0.13 -0.02 0.14 0.24 0.33
#> eta[134] 1.43 0.00 0.09 1.24 1.36 1.43 1.49
#> eta[135] 1.92 0.00 0.11 1.70 1.84 1.92 1.99
#> eta[136] 1.32 0.00 0.09 1.15 1.26 1.32 1.38
#> eta[137] -0.09 0.00 0.11 -0.30 -0.17 -0.09 -0.02
#> eta[138] 1.87 0.00 0.20 1.49 1.74 1.87 2.00
#> eta[139] 1.26 0.00 0.09 1.09 1.20 1.26 1.32
#> eta[140] 1.72 0.00 0.10 1.53 1.66 1.72 1.79
#> eta[141] 0.47 0.00 0.11 0.26 0.40 0.47 0.54
#> eta[142] 3.94 0.00 0.25 3.46 3.77 3.94 4.11
#> eta[143] 0.51 0.00 0.10 0.31 0.45 0.51 0.58
#> eta[144] 0.11 0.00 0.11 -0.11 0.03 0.11 0.18
#> eta[145] 0.18 0.00 0.11 -0.03 0.11 0.18 0.25
#> eta[146] 0.46 0.00 0.14 0.19 0.37 0.46 0.55
#> eta[147] 1.63 0.00 0.10 1.44 1.56 1.63 1.69
#> eta[148] 2.05 0.00 0.11 1.84 1.98 2.05 2.12
#> eta[149] -0.37 0.00 0.15 -0.67 -0.48 -0.37 -0.26
#> eta[150] 1.34 0.01 0.36 0.66 1.10 1.33 1.58
#> eta[151] -0.44 0.00 0.17 -0.77 -0.56 -0.44 -0.33
#> eta[152] 0.88 0.00 0.11 0.68 0.81 0.88 0.95
#> eta[153] 0.60 0.00 0.08 0.44 0.54 0.60 0.65
#> eta[154] 1.02 0.00 0.10 0.83 0.95 1.02 1.08
#> eta[155] 1.27 0.00 0.18 0.93 1.15 1.27 1.39
#> eta[156] 2.95 0.00 0.17 2.62 2.83 2.94 3.06
#> eta[157] 0.98 0.00 0.08 0.83 0.92 0.98 1.03
#> eta[158] 0.02 0.00 0.11 -0.20 -0.06 0.02 0.10
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#> eta[294] 0.60 0.00 0.19 0.24 0.48 0.60 0.72
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#> eta[298] 1.04 0.00 0.08 0.89 0.98 1.04 1.09
#> eta[299] 1.10 0.00 0.07 0.96 1.05 1.10 1.15
#> eta[300] 0.80 0.00 0.10 0.61 0.73 0.80 0.87
#> eta[301] 1.91 0.00 0.10 1.71 1.84 1.91 1.98
#> eta[302] -0.07 0.00 0.15 -0.37 -0.17 -0.07 0.04
#> eta[303] 1.90 0.00 0.14 1.63 1.81 1.90 1.99
#> eta[304] 1.35 0.00 0.11 1.13 1.28 1.35 1.42
#> eta[305] 2.00 0.00 0.10 1.81 1.93 2.00 2.07
#> eta[306] 1.97 0.00 0.12 1.74 1.89 1.97 2.04
#> eta[307] 0.13 0.00 0.11 -0.10 0.05 0.13 0.20
#> eta[308] 1.35 0.00 0.12 1.12 1.27 1.35 1.43
#> eta[309] 2.07 0.00 0.12 1.84 1.99 2.07 2.14
#> eta[310] 1.35 0.00 0.08 1.21 1.29 1.35 1.40
#> eta[311] 1.64 0.00 0.12 1.40 1.56 1.64 1.72
#> eta[312] 1.13 0.00 0.09 0.96 1.07 1.13 1.19
#> eta[313] 1.90 0.00 0.10 1.70 1.83 1.90 1.97
#> eta[314] 1.50 0.00 0.12 1.27 1.42 1.50 1.57
#> eta[315] 0.03 0.00 0.18 -0.32 -0.09 0.03 0.16
#> eta[316] 1.25 0.00 0.19 0.88 1.12 1.24 1.38
#> eta[317] 0.74 0.00 0.08 0.57 0.68 0.74 0.79
#> eta[318] 1.10 0.00 0.12 0.85 1.02 1.10 1.17
#> eta[319] 0.78 0.00 0.09 0.60 0.72 0.78 0.84
#> eta[320] 1.99 0.00 0.10 1.80 1.92 1.99 2.06
#> eta[321] 0.83 0.00 0.08 0.68 0.78 0.83 0.89
#> eta[322] 1.79 0.00 0.12 1.56 1.71 1.79 1.87
#> eta[323] 2.86 0.00 0.23 2.40 2.71 2.85 3.02
#> eta[324] 0.35 0.00 0.15 0.07 0.25 0.35 0.44
#> eta[325] 1.33 0.00 0.11 1.13 1.26 1.33 1.41
#> eta[326] 0.86 0.00 0.12 0.63 0.78 0.86 0.94
#> eta[327] 0.20 0.00 0.16 -0.12 0.09 0.20 0.31
#> eta[328] 0.56 0.00 0.14 0.28 0.46 0.56 0.66
#> eta[329] 2.51 0.00 0.22 2.08 2.36 2.51 2.65
#> eta[330] 2.24 0.00 0.13 1.97 2.15 2.23 2.32
#> eta[331] 0.66 0.00 0.12 0.44 0.58 0.66 0.75
#> eta[332] 1.36 0.00 0.08 1.20 1.30 1.36 1.41
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#> eta[489] 3.91 0.01 0.26 3.42 3.74 3.91 4.08
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#> eta[491] 0.75 0.00 0.09 0.57 0.69 0.75 0.82
#> eta[492] 1.60 0.00 0.09 1.44 1.54 1.60 1.66
#> eta[493] 0.37 0.00 0.13 0.12 0.28 0.37 0.45
#> eta[494] 1.17 0.00 0.12 0.95 1.09 1.17 1.25
#> eta[495] -0.02 0.00 0.12 -0.26 -0.10 -0.02 0.07
#> eta[496] 2.05 0.00 0.12 1.82 1.97 2.05 2.14
#> eta[497] 2.57 0.00 0.22 2.16 2.42 2.57 2.72
#> eta[498] -0.31 0.00 0.15 -0.60 -0.41 -0.31 -0.21
#> eta[499] 0.53 0.00 0.15 0.24 0.42 0.53 0.63
#> eta[500] 1.89 0.00 0.13 1.64 1.81 1.89 1.98
#> eta[501] -0.12 0.00 0.20 -0.52 -0.26 -0.12 0.02
#> eta[502] 2.50 0.00 0.19 2.13 2.37 2.50 2.63
#> eta[503] 1.56 0.00 0.14 1.29 1.46 1.56 1.65
#> eta[504] 0.23 0.00 0.14 -0.04 0.13 0.23 0.33
#> eta[505] 1.95 0.00 0.12 1.72 1.87 1.95 2.03
#> eta[506] 1.77 0.00 0.16 1.46 1.66 1.77 1.88
#> eta[507] 2.09 0.00 0.13 1.83 2.00 2.08 2.17
#> eta[508] 0.27 0.00 0.14 0.01 0.18 0.27 0.37
#> eta[509] 1.74 0.00 0.10 1.54 1.67 1.73 1.80
#> eta[510] 0.99 0.00 0.15 0.71 0.89 0.99 1.09
#> eta[511] 0.93 0.00 0.10 0.73 0.86 0.92 0.99
#> eta[512] -0.56 0.00 0.21 -0.97 -0.70 -0.56 -0.42
#> eta[513] 1.31 0.00 0.09 1.14 1.26 1.31 1.37
#> eta[514] 1.85 0.00 0.12 1.63 1.77 1.85 1.93
#> eta[515] 1.36 0.00 0.08 1.20 1.30 1.36 1.41
#> eta[516] 2.77 0.00 0.16 2.46 2.66 2.77 2.88
#> eta[517] 3.46 0.00 0.21 3.04 3.32 3.46 3.61
#> eta[518] -0.37 0.00 0.12 -0.61 -0.46 -0.37 -0.29
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#> eta[643] 0.15 0.00 0.12 -0.07 0.07 0.15 0.23
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#> eta[646] 0.95 0.00 0.13 0.71 0.86 0.95 1.04
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#> eta[661] 1.49 0.00 0.08 1.33 1.43 1.49 1.54
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#> eta[663] 0.89 0.00 0.07 0.75 0.84 0.89 0.94
#> eta[664] 0.03 0.00 0.14 -0.24 -0.06 0.04 0.13
#> eta[665] 0.94 0.00 0.11 0.71 0.86 0.94 1.01
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#> eta[667] 2.22 0.00 0.16 1.93 2.11 2.22 2.33
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#> eta[669] 0.08 0.00 0.17 -0.26 -0.04 0.08 0.19
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#> eta[671] 1.85 0.00 0.11 1.62 1.77 1.85 1.92
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#> eta[673] 2.92 0.00 0.15 2.64 2.81 2.91 3.02
#> eta[674] 0.69 0.01 0.27 0.17 0.50 0.69 0.88
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#> eta[677] 0.62 0.00 0.18 0.27 0.50 0.62 0.73
#> eta[678] -0.42 0.00 0.15 -0.71 -0.52 -0.41 -0.31
#> eta[679] 2.48 0.00 0.18 2.12 2.35 2.47 2.60
#> eta[680] -0.31 0.00 0.15 -0.60 -0.41 -0.31 -0.21
#> eta[681] 0.71 0.00 0.11 0.50 0.64 0.71 0.79
#> eta[682] 0.72 0.00 0.13 0.47 0.64 0.72 0.81
#> eta[683] 0.86 0.00 0.11 0.64 0.78 0.86 0.93
#> eta[684] 1.98 0.00 0.11 1.78 1.91 1.98 2.05
#> eta[685] 2.55 0.00 0.24 2.08 2.40 2.55 2.72
#> eta[686] 2.16 0.00 0.13 1.90 2.07 2.15 2.24
#> eta[687] 1.77 0.00 0.18 1.42 1.65 1.78 1.89
#> eta[688] 2.17 0.00 0.17 1.84 2.06 2.17 2.29
#> eta[689] 2.72 0.00 0.23 2.28 2.56 2.72 2.87
#> eta[690] 0.31 0.00 0.09 0.14 0.25 0.31 0.37
#> eta[691] 0.64 0.00 0.10 0.46 0.58 0.64 0.71
#> eta[692] 2.33 0.00 0.12 2.09 2.25 2.33 2.41
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#> eta[855] 1.99 0.00 0.15 1.68 1.89 1.99 2.09
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#> eta[857] 1.82 0.00 0.09 1.64 1.75 1.82 1.88
#> eta[858] 2.16 0.00 0.21 1.75 2.01 2.16 2.30
#> eta[859] 2.65 0.00 0.25 2.16 2.49 2.64 2.82
#> eta[860] 4.59 0.01 0.33 3.95 4.38 4.58 4.81
#> eta[861] -0.01 0.00 0.10 -0.21 -0.08 -0.01 0.06
#> eta[862] 0.01 0.00 0.17 -0.32 -0.10 0.01 0.13
#> eta[863] 0.74 0.00 0.11 0.53 0.66 0.74 0.81
#> eta[864] 0.47 0.00 0.11 0.26 0.39 0.47 0.54
#> eta[865] 1.44 0.00 0.08 1.29 1.39 1.44 1.50
#> eta[866] 0.47 0.00 0.14 0.20 0.38 0.47 0.56
#> eta[867] -0.77 0.00 0.16 -1.09 -0.88 -0.77 -0.66
#> eta[868] 2.51 0.00 0.17 2.18 2.41 2.51 2.63
#> eta[869] 1.51 0.00 0.09 1.34 1.45 1.51 1.57
#> eta[870] 0.64 0.00 0.10 0.43 0.57 0.64 0.71
#> eta[871] 1.31 0.00 0.12 1.09 1.24 1.31 1.39
#> eta[872] 1.07 0.00 0.12 0.83 0.99 1.07 1.16
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#> eta[1035] 2.19 0.00 0.18 1.83 2.07 2.19 2.31
#> eta[1036] 2.40 0.00 0.15 2.09 2.29 2.39 2.50
#> eta[1037] 2.30 0.00 0.12 2.08 2.22 2.30 2.38
#> eta[1038] 1.18 0.00 0.11 0.97 1.10 1.18 1.25
#> eta[1039] 1.58 0.00 0.09 1.42 1.52 1.58 1.64
#> eta[1040] 0.94 0.00 0.12 0.69 0.85 0.93 1.02
#> eta[1041] 1.67 0.00 0.18 1.32 1.55 1.66 1.79
#> eta[1042] 1.89 0.00 0.12 1.65 1.81 1.89 1.98
#> eta[1043] -0.04 0.00 0.22 -0.46 -0.18 -0.04 0.11
#> eta[1044] 1.89 0.00 0.10 1.70 1.82 1.89 1.95
#> eta[1045] -0.52 0.00 0.24 -0.98 -0.68 -0.52 -0.36
#> eta[1046] 1.03 0.00 0.16 0.72 0.92 1.04 1.14
#> eta[1047] 1.79 0.00 0.09 1.61 1.73 1.79 1.85
#> eta[1048] 1.17 0.01 0.27 0.67 0.98 1.16 1.35
#> eta[1049] 2.12 0.00 0.19 1.75 2.00 2.12 2.26
#> eta[1050] 3.59 0.01 0.34 2.91 3.37 3.59 3.82
#> eta[1051] 1.30 0.00 0.11 1.09 1.23 1.29 1.37
#> eta[1052] 0.07 0.00 0.16 -0.25 -0.04 0.07 0.17
#> eta[1053] 0.63 0.00 0.18 0.28 0.51 0.63 0.74
#> eta[1054] 0.77 0.00 0.15 0.47 0.67 0.77 0.87
#> eta[1055] 0.64 0.00 0.15 0.36 0.54 0.64 0.74
#> eta[1056] 1.73 0.00 0.12 1.50 1.65 1.72 1.81
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#> eta[1059] 0.76 0.00 0.10 0.57 0.70 0.76 0.83
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#> eta[1061] 0.49 0.00 0.11 0.28 0.41 0.49 0.56
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#> eta[1067] 0.58 0.00 0.11 0.36 0.50 0.58 0.66
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#> eta[1102] 1.29 0.00 0.17 0.96 1.17 1.28 1.40
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#> eta[1134] 4.01 0.00 0.25 3.52 3.84 4.00 4.18
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#> eta[1196] 1.59 0.00 0.09 1.41 1.53 1.59 1.65
#> eta[1197] 0.13 0.00 0.17 -0.20 0.02 0.13 0.24
#> eta[1198] 0.79 0.00 0.07 0.64 0.74 0.79 0.84
#> eta[1199] 1.87 0.00 0.12 1.63 1.78 1.87 1.95
#> eta[1200] 1.05 0.00 0.10 0.87 0.98 1.05 1.12
#> eta[1201] -0.61 0.00 0.17 -0.93 -0.72 -0.61 -0.50
#> eta[1202] 1.45 0.00 0.08 1.30 1.39 1.45 1.51
#> eta[1203] 0.68 0.00 0.11 0.46 0.60 0.68 0.75
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#> eta[1206] 0.39 0.00 0.15 0.09 0.28 0.39 0.49
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#> eta[1208] 0.76 0.00 0.07 0.62 0.71 0.76 0.81
#> eta[1209] 1.08 0.00 0.13 0.82 0.99 1.08 1.17
#> eta[1210] 2.83 0.00 0.15 2.54 2.73 2.83 2.93
#> eta[1211] 0.51 0.00 0.08 0.35 0.45 0.51 0.57
#> eta[1212] 1.04 0.00 0.07 0.91 0.99 1.04 1.10
#> eta[1213] 1.53 0.00 0.11 1.31 1.45 1.53 1.60
#> eta[1214] 0.32 0.00 0.14 0.04 0.22 0.32 0.42
#> eta[1215] 2.53 0.00 0.15 2.23 2.43 2.52 2.62
#> eta[1216] 0.45 0.00 0.14 0.19 0.36 0.45 0.55
#> eta[1217] 0.40 0.00 0.16 0.09 0.29 0.40 0.50
#> eta[1218] 1.48 0.00 0.23 1.04 1.32 1.48 1.63
#> eta[1219] 0.90 0.00 0.09 0.73 0.84 0.90 0.96
#> eta[1220] 0.22 0.00 0.14 -0.04 0.13 0.23 0.32
#> eta[1221] 0.88 0.00 0.10 0.69 0.81 0.88 0.95
#> eta[1222] 2.02 0.00 0.11 1.80 1.94 2.01 2.09
#> eta[1223] 0.66 0.00 0.18 0.32 0.54 0.66 0.77
#> eta[1224] 2.52 0.00 0.13 2.27 2.43 2.51 2.60
#> eta[1225] 2.34 0.00 0.15 2.03 2.24 2.34 2.45
#> eta[1226] 0.89 0.00 0.17 0.55 0.77 0.89 1.01
#> eta[1227] 0.45 0.00 0.15 0.17 0.35 0.46 0.55
#> eta[1228] 0.75 0.00 0.09 0.56 0.69 0.75 0.81
#> eta[1229] 0.32 0.00 0.13 0.06 0.23 0.32 0.41
#> eta[1230] 0.98 0.00 0.10 0.79 0.92 0.98 1.05
#> eta[1231] 1.02 0.00 0.15 0.73 0.91 1.02 1.12
#> eta[1232] 0.06 0.00 0.12 -0.17 -0.01 0.06 0.14
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#> eta[1235] 0.56 0.00 0.14 0.28 0.46 0.56 0.65
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#> eta[1237] 2.12 0.01 0.27 1.61 1.94 2.12 2.31
#> eta[1238] -0.05 0.00 0.13 -0.30 -0.13 -0.04 0.04
#> eta[1239] 2.89 0.00 0.24 2.41 2.73 2.88 3.05
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#> eta[1241] 1.02 0.00 0.10 0.83 0.95 1.02 1.08
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#> eta[1348] 0.29 0.00 0.12 0.07 0.21 0.29 0.37
#> eta[1349] 2.59 0.00 0.15 2.30 2.50 2.59 2.70
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#> eta[1377] 1.26 0.00 0.09 1.08 1.20 1.26 1.32
#> eta[1378] 2.22 0.00 0.16 1.90 2.12 2.22 2.33
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#> eta[1382] 0.02 0.00 0.17 -0.32 -0.10 0.02 0.13
#> eta[1383] 1.11 0.00 0.07 0.97 1.06 1.11 1.16
#> eta[1384] 1.13 0.00 0.13 0.88 1.04 1.12 1.22
#> eta[1385] 0.96 0.00 0.08 0.82 0.91 0.96 1.01
#> eta[1386] 0.82 0.00 0.11 0.61 0.75 0.82 0.90
#> eta[1387] 1.18 0.00 0.23 0.73 1.02 1.18 1.33
#> eta[1388] -1.00 0.00 0.17 -1.34 -1.12 -1.00 -0.89
#> eta[1389] 0.30 0.00 0.15 0.00 0.20 0.30 0.40
#> eta[1390] 1.37 0.00 0.08 1.22 1.31 1.37 1.42
#> eta[1391] 0.83 0.00 0.10 0.63 0.76 0.83 0.90
#> eta[1392] 2.19 0.00 0.11 1.99 2.12 2.19 2.26
#> eta[1393] 0.69 0.00 0.11 0.49 0.62 0.69 0.77
#> eta[1394] 0.19 0.00 0.11 -0.02 0.12 0.19 0.26
#> eta[1395] 0.23 0.00 0.13 -0.02 0.14 0.23 0.32
#> eta[1396] -0.46 0.00 0.22 -0.88 -0.61 -0.46 -0.31
#> eta[1397] 1.26 0.00 0.12 1.02 1.18 1.26 1.33
#> eta[1398] 1.86 0.00 0.13 1.60 1.78 1.86 1.95
#> eta[1399] 2.30 0.00 0.13 2.05 2.21 2.29 2.38
#> eta[1400] 2.40 0.00 0.12 2.18 2.32 2.40 2.48
#> eta[1401] -0.13 0.00 0.11 -0.35 -0.20 -0.12 -0.05
#> eta[1402] 0.02 0.00 0.13 -0.25 -0.07 0.02 0.11
#> eta[1403] 2.81 0.00 0.18 2.46 2.69 2.81 2.93
#> eta[1404] 1.50 0.00 0.08 1.35 1.44 1.50 1.56
#> eta[1405] 0.50 0.00 0.12 0.27 0.42 0.49 0.58
#> eta[1406] 0.40 0.00 0.11 0.20 0.33 0.40 0.48
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#> eta[1454] -0.40 0.00 0.17 -0.74 -0.52 -0.40 -0.28
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#> eta[1477] 0.87 0.00 0.11 0.66 0.79 0.86 0.94
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#> eta[1525] 0.60 0.00 0.10 0.40 0.53 0.60 0.67
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#> eta[1529] 1.21 0.00 0.13 0.96 1.12 1.21 1.29
#> eta[1530] 4.24 0.01 0.32 3.63 4.03 4.23 4.45
#> eta[1531] -0.19 0.00 0.19 -0.55 -0.32 -0.18 -0.06
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#> eta[1538] 3.68 0.00 0.24 3.22 3.52 3.67 3.83
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#> eta[1546] 0.36 0.00 0.22 -0.06 0.21 0.36 0.50
#> eta[1547] 0.19 0.00 0.14 -0.08 0.09 0.19 0.29
#> eta[1548] 0.96 0.00 0.09 0.79 0.90 0.96 1.02
#> eta[1549] 0.84 0.00 0.14 0.56 0.74 0.84 0.93
#> eta[1550] 0.65 0.00 0.11 0.44 0.57 0.65 0.72
#> eta[1551] 1.74 0.00 0.09 1.56 1.67 1.74 1.80
#> eta[1552] -1.46 0.00 0.20 -1.86 -1.59 -1.45 -1.32
#> eta[1553] 1.40 0.00 0.08 1.25 1.34 1.40 1.45
#> eta[1554] 1.86 0.00 0.16 1.54 1.75 1.85 1.96
#> eta[1555] 2.12 0.00 0.19 1.75 1.99 2.12 2.24
#> eta[1556] 1.53 0.00 0.08 1.37 1.48 1.53 1.59
#> eta[1557] 2.03 0.00 0.12 1.80 1.95 2.03 2.11
#> eta[1558] 3.22 0.00 0.18 2.88 3.10 3.21 3.34
#> eta[1559] 0.91 0.00 0.14 0.63 0.81 0.91 1.01
#> eta[1560] 1.62 0.00 0.10 1.42 1.56 1.62 1.69
#> eta[1561] 0.47 0.00 0.09 0.29 0.41 0.47 0.53
#> eta[1562] 0.87 0.00 0.09 0.70 0.81 0.87 0.93
#> eta[1563] 2.31 0.00 0.11 2.10 2.23 2.31 2.39
#> eta[1564] 1.23 0.00 0.10 1.05 1.16 1.23 1.29
#> eta[1565] 0.01 0.00 0.19 -0.36 -0.12 0.01 0.13
#> eta[1566] 3.52 0.00 0.23 3.06 3.37 3.51 3.67
#> eta[1567] -0.26 0.00 0.16 -0.56 -0.37 -0.26 -0.16
#> eta[1568] -0.10 0.00 0.16 -0.41 -0.21 -0.10 0.01
#> eta[1569] 2.37 0.00 0.12 2.14 2.29 2.37 2.45
#> eta[1570] 1.86 0.00 0.13 1.61 1.78 1.86 1.95
#> eta[1571] 1.17 0.00 0.08 1.03 1.12 1.17 1.23
#> eta[1572] 3.14 0.00 0.22 2.70 2.99 3.13 3.29
#> eta[1573] 2.80 0.00 0.16 2.47 2.69 2.80 2.90
#> eta[1574] 1.00 0.00 0.08 0.85 0.95 1.00 1.06
#> eta[1575] 2.46 0.00 0.17 2.12 2.35 2.46 2.58
#> eta[1576] 1.71 0.00 0.10 1.51 1.64 1.71 1.77
#> eta[1577] 1.81 0.00 0.11 1.61 1.74 1.81 1.89
#> eta[1578] 0.41 0.00 0.15 0.13 0.31 0.41 0.51
#> eta[1579] -0.89 0.00 0.20 -1.30 -1.03 -0.89 -0.76
#> eta[1580] 1.29 0.00 0.15 0.99 1.19 1.30 1.40
#> eta[1581] 1.41 0.00 0.12 1.17 1.33 1.41 1.49
#> eta[1582] 0.94 0.00 0.13 0.68 0.85 0.94 1.02
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#> eta[1727] 3.90 0.01 0.32 3.26 3.69 3.89 4.11
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#> eta[1735] 1.88 0.00 0.10 1.70 1.82 1.88 1.95
#> eta[1736] 1.57 0.00 0.13 1.31 1.48 1.56 1.65
#> eta[1737] 0.00 0.00 0.16 -0.30 -0.11 0.00 0.10
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#> eta[1739] 0.66 0.00 0.08 0.51 0.61 0.66 0.71
#> eta[1740] -0.10 0.00 0.16 -0.41 -0.21 -0.09 0.01
#> eta[1741] 1.36 0.00 0.09 1.19 1.30 1.36 1.42
#> eta[1742] 1.67 0.00 0.09 1.50 1.61 1.67 1.73
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#> eta[1745] 0.46 0.00 0.22 0.03 0.31 0.46 0.60
#> eta[1746] 0.64 0.00 0.08 0.48 0.58 0.64 0.69
#> eta[1747] 2.11 0.00 0.12 1.88 2.03 2.11 2.19
#> eta[1748] 0.61 0.00 0.09 0.44 0.55 0.61 0.67
#> eta[1749] 2.18 0.00 0.20 1.78 2.04 2.17 2.31
#> eta[1750] 0.86 0.00 0.08 0.70 0.80 0.86 0.91
#> eta[1751] 1.92 0.00 0.12 1.69 1.84 1.91 1.99
#> eta[1752] 0.60 0.00 0.09 0.42 0.54 0.60 0.67
#> eta[1753] 0.74 0.00 0.15 0.45 0.64 0.74 0.84
#> eta[1754] 1.28 0.00 0.13 1.04 1.20 1.28 1.37
#> eta[1755] 2.60 0.00 0.18 2.24 2.47 2.59 2.72
#> eta[1756] 0.06 0.00 0.14 -0.22 -0.04 0.06 0.15
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#> eta[1875] 1.75 0.00 0.09 1.57 1.69 1.75 1.81
#> eta[1876] 1.99 0.00 0.11 1.77 1.91 1.99 2.07
#> eta[1877] 1.37 0.00 0.08 1.22 1.31 1.37 1.42
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#> eta[1879] -0.25 0.00 0.17 -0.57 -0.36 -0.24 -0.13
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#> eta[1898] 0.11 0.00 0.12 -0.12 0.03 0.11 0.19
#> eta[1899] 1.60 0.00 0.13 1.36 1.51 1.60 1.68
#> eta[1900] 1.95 0.00 0.10 1.77 1.88 1.95 2.02
#> eta[1901] 0.97 0.00 0.09 0.81 0.91 0.97 1.03
#> eta[1902] 3.71 0.00 0.22 3.30 3.56 3.70 3.86
#> eta[1903] 1.96 0.00 0.20 1.56 1.82 1.96 2.10
#> eta[1904] 2.39 0.00 0.17 2.05 2.27 2.38 2.50
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#> eta[1907] 0.82 0.00 0.08 0.67 0.77 0.82 0.87
#> eta[1908] 1.23 0.00 0.17 0.91 1.12 1.23 1.35
#> eta[1909] 0.71 0.00 0.14 0.43 0.61 0.71 0.80
#> eta[1910] 1.94 0.00 0.12 1.71 1.86 1.94 2.02
#> eta[1911] 0.88 0.00 0.09 0.71 0.83 0.88 0.94
#> eta[1912] 1.80 0.00 0.09 1.62 1.74 1.80 1.86
#> eta[1913] 0.49 0.00 0.10 0.28 0.42 0.49 0.56
#> eta[1914] 1.23 0.00 0.24 0.77 1.06 1.23 1.38
#> eta[1915] -0.03 0.00 0.15 -0.33 -0.13 -0.03 0.08
#> eta[1916] 2.41 0.00 0.22 1.97 2.27 2.41 2.56
#> eta[1917] 0.59 0.00 0.12 0.37 0.52 0.59 0.67
#> eta[1918] 0.68 0.00 0.08 0.52 0.63 0.68 0.73
#> eta[1919] 0.49 0.00 0.09 0.31 0.43 0.49 0.55
#> eta[1920] 1.15 0.00 0.08 0.99 1.10 1.15 1.21
#> eta[1921] 4.05 0.00 0.25 3.58 3.88 4.04 4.21
#> eta[1922] 0.01 0.00 0.16 -0.30 -0.10 0.02 0.12
#> eta[1923] 2.85 0.00 0.25 2.35 2.68 2.84 3.02
#> eta[1924] 1.45 0.00 0.10 1.26 1.38 1.45 1.51
#> eta[1925] 2.11 0.00 0.15 1.81 2.02 2.11 2.22
#> eta[1926] 0.90 0.00 0.12 0.67 0.82 0.90 0.98
#> eta[1927] -0.53 0.00 0.14 -0.79 -0.62 -0.53 -0.44
#> eta[1928] 1.15 0.00 0.09 0.98 1.09 1.15 1.21
#> eta[1929] 0.92 0.00 0.09 0.74 0.86 0.92 0.98
#> eta[1930] 0.97 0.00 0.07 0.83 0.92 0.97 1.02
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#> log_lik[1301] -1.45 0.00 0.12 -1.69 -1.53 -1.45 -1.36
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#> log_lik[1469] -0.17 0.00 0.02 -0.20 -0.18 -0.16 -0.15
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#> log_lik[1803] -0.70 0.00 0.09 -0.88 -0.76 -0.70 -0.64
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#> log_lik[1805] -2.03 0.00 0.10 -2.23 -2.10 -2.03 -1.96
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#> mu[331] 0.66 0.00 0.03 0.61 0.64 0.66 0.68
#> mu[332] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.79 0.80 0.80
#> mu[333] 0.81 0.00 0.01 0.79 0.80 0.81 0.82
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#> mu[335] 0.85 0.00 0.01 0.83 0.84 0.85 0.86
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#> mu[507] 0.89 0.00 0.01 0.86 0.88 0.89 0.90
#> mu[508] 0.57 0.00 0.03 0.50 0.55 0.57 0.59
#> mu[509] 0.85 0.00 0.01 0.82 0.84 0.85 0.86
#> mu[510] 0.73 0.00 0.03 0.67 0.71 0.73 0.75
#> mu[511] 0.72 0.00 0.02 0.67 0.70 0.72 0.73
#> mu[512] 0.37 0.00 0.05 0.28 0.33 0.36 0.40
#> mu[513] 0.79 0.00 0.01 0.76 0.78 0.79 0.80
#> mu[514] 0.86 0.00 0.01 0.84 0.85 0.86 0.87
#> mu[515] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.79 0.80 0.80
#> mu[516] 0.94 0.00 0.01 0.92 0.93 0.94 0.95
#> mu[517] 0.97 0.00 0.01 0.95 0.97 0.97 0.97
#> mu[518] 0.41 0.00 0.03 0.35 0.39 0.41 0.43
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#> mu[689] 0.94 0.00 0.01 0.91 0.93 0.94 0.95
#> mu[690] 0.58 0.00 0.02 0.53 0.56 0.58 0.59
#> mu[691] 0.66 0.00 0.02 0.61 0.64 0.65 0.67
#> mu[692] 0.91 0.00 0.01 0.89 0.90 0.91 0.92
#> mu[693] 0.40 0.00 0.04 0.33 0.38 0.40 0.43
#> mu[694] 0.63 0.00 0.02 0.59 0.61 0.63 0.64
#> mu[695] 0.79 0.00 0.02 0.74 0.78 0.79 0.81
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#> mu[869] 0.82 0.00 0.01 0.79 0.81 0.82 0.83
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#> mu[871] 0.79 0.00 0.02 0.75 0.77 0.79 0.80
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#> mu[873] 0.87 0.00 0.01 0.85 0.87 0.87 0.88
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#> mu[875] 0.82 0.00 0.01 0.79 0.81 0.82 0.82
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#> mu[1048] 0.76 0.00 0.05 0.66 0.73 0.76 0.79
#> mu[1049] 0.89 0.00 0.02 0.85 0.88 0.89 0.91
#> mu[1050] 0.97 0.00 0.01 0.95 0.97 0.97 0.98
#> mu[1051] 0.78 0.00 0.02 0.75 0.77 0.78 0.80
#> mu[1052] 0.52 0.00 0.04 0.44 0.49 0.52 0.54
#> mu[1053] 0.65 0.00 0.04 0.57 0.62 0.65 0.68
#> mu[1054] 0.68 0.00 0.03 0.62 0.66 0.68 0.70
#> mu[1055] 0.65 0.00 0.03 0.59 0.63 0.66 0.68
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#> mu[1221] 0.71 0.00 0.02 0.67 0.69 0.71 0.72
#> mu[1222] 0.88 0.00 0.01 0.86 0.87 0.88 0.89
#> mu[1223] 0.66 0.00 0.04 0.58 0.63 0.66 0.68
#> mu[1224] 0.92 0.00 0.01 0.91 0.92 0.92 0.93
#> mu[1225] 0.91 0.00 0.01 0.88 0.90 0.91 0.92
#> mu[1226] 0.71 0.00 0.04 0.63 0.68 0.71 0.73
#> mu[1227] 0.61 0.00 0.03 0.54 0.59 0.61 0.64
#> mu[1228] 0.68 0.00 0.02 0.64 0.67 0.68 0.69
#> mu[1229] 0.58 0.00 0.03 0.52 0.56 0.58 0.60
#> mu[1230] 0.73 0.00 0.02 0.69 0.71 0.73 0.74
#> mu[1231] 0.73 0.00 0.03 0.67 0.71 0.74 0.75
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#> mu[1405] 0.62 0.00 0.03 0.57 0.60 0.62 0.64
#> mu[1406] 0.60 0.00 0.03 0.55 0.58 0.60 0.62
#> mu[1407] 0.84 0.00 0.01 0.82 0.84 0.84 0.85
#> mu[1408] 0.81 0.00 0.02 0.78 0.80 0.81 0.82
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#> mu[1570] 0.87 0.00 0.02 0.83 0.86 0.87 0.88
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#> mu[1574] 0.73 0.00 0.01 0.70 0.72 0.73 0.74
#> mu[1575] 0.92 0.00 0.01 0.89 0.91 0.92 0.93
#> mu[1576] 0.85 0.00 0.01 0.82 0.84 0.85 0.85
#> mu[1577] 0.86 0.00 0.01 0.83 0.85 0.86 0.87
#> mu[1578] 0.60 0.00 0.03 0.53 0.58 0.60 0.62
#> mu[1579] 0.29 0.00 0.04 0.21 0.26 0.29 0.32
#> mu[1580] 0.78 0.00 0.03 0.73 0.77 0.79 0.80
#> mu[1581] 0.80 0.00 0.02 0.76 0.79 0.80 0.82
#> mu[1582] 0.72 0.00 0.03 0.66 0.70 0.72 0.74
#> mu[1583] 0.84 0.00 0.02 0.81 0.83 0.84 0.85
#> mu[1584] 0.82 0.00 0.02 0.79 0.81 0.82 0.83
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#> mu[1590] 0.59 0.00 0.03 0.52 0.57 0.59 0.61
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#> mu[1654] 0.69 0.00 0.02 0.65 0.68 0.69 0.71
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#> mu[1754] 0.78 0.00 0.02 0.74 0.77 0.78 0.80
#> mu[1755] 0.93 0.00 0.01 0.90 0.92 0.93 0.94
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#> mu[1757] 0.85 0.00 0.01 0.82 0.84 0.85 0.85
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#> mu[1928] 0.76 0.00 0.02 0.73 0.75 0.76 0.77
#> mu[1929] 0.71 0.00 0.02 0.68 0.70 0.71 0.73
#> mu[1930] 0.73 0.00 0.01 0.70 0.72 0.73 0.74
#> mu[1931] 0.88 0.00 0.01 0.86 0.87 0.88 0.89
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#> mu[1837] 0.77 4000 1
#> mu[1838] 0.60 4000 1
#> mu[1839] 0.77 2899 1
#> mu[1840] 0.61 4000 1
#> mu[1841] 0.99 2667 1
#> mu[1842] 0.57 4000 1
#> mu[1843] 0.64 4000 1
#> mu[1844] 0.59 4000 1
#> mu[1845] 0.93 2054 1
#> mu[1846] 0.96 2824 1
#> mu[1847] 0.90 2190 1
#> mu[1848] 0.86 2706 1
#> mu[1849] 0.56 4000 1
#> mu[1850] 0.55 4000 1
#> mu[1851] 0.59 4000 1
#> mu[1852] 0.90 2856 1
#> mu[1853] 0.83 2573 1
#> mu[1854] 0.79 2782 1
#> mu[1855] 0.41 4000 1
#> mu[1856] 0.69 4000 1
#> mu[1857] 0.91 2186 1
#> mu[1858] 0.68 4000 1
#> mu[1859] 0.73 4000 1
#> mu[1860] 0.53 4000 1
#> mu[1861] 0.77 3385 1
#> mu[1862] 0.97 2357 1
#> mu[1863] 0.76 2637 1
#> mu[1864] 0.91 3066 1
#> mu[1865] 0.88 2972 1
#> mu[1866] 0.90 3259 1
#> mu[1867] 0.86 2832 1
#> mu[1868] 0.99 2680 1
#> mu[1869] 0.97 2635 1
#> mu[1870] 0.70 3120 1
#> mu[1871] 0.50 3042 1
#> mu[1872] 0.87 2844 1
#> mu[1873] 0.91 2346 1
#> mu[1874] 0.80 4000 1
#> mu[1875] 0.87 2720 1
#> mu[1876] 0.90 2219 1
#> mu[1877] 0.82 3020 1
#> mu[1878] 0.80 4000 1
#> mu[1879] 0.52 4000 1
#> mu[1880] 0.71 3292 1
#> mu[1881] 0.86 2886 1
#> mu[1882] 0.51 4000 1
#> mu[1883] 0.97 2780 1
#> mu[1884] 0.61 4000 1
#> mu[1885] 0.87 2531 1
#> mu[1886] 0.87 2840 1
#> mu[1887] 0.99 2723 1
#> mu[1888] 0.35 4000 1
#> mu[1889] 0.88 2634 1
#> mu[1890] 0.72 4000 1
#> mu[1891] 0.84 2975 1
#> mu[1892] 0.74 2899 1
#> mu[1893] 0.91 2577 1
#> mu[1894] 0.88 4000 1
#> mu[1895] 0.87 2850 1
#> mu[1896] 0.61 4000 1
#> mu[1897] 0.65 3009 1
#> mu[1898] 0.59 4000 1
#> mu[1899] 0.86 2408 1
#> mu[1900] 0.90 2738 1
#> mu[1901] 0.76 2932 1
#> mu[1902] 0.98 2167 1
#> mu[1903] 0.91 2825 1
#> mu[1904] 0.94 2080 1
#> mu[1905] 0.96 2323 1
#> mu[1906] 0.93 2579 1
#> mu[1907] 0.73 4000 1
#> mu[1908] 0.83 2974 1
#> mu[1909] 0.73 4000 1
#> mu[1910] 0.90 3131 1
#> mu[1911] 0.74 4000 1
#> mu[1912] 0.88 2634 1
#> mu[1913] 0.67 2638 1
#> mu[1914] 0.85 2393 1
#> mu[1915] 0.57 3745 1
#> mu[1916] 0.95 2687 1
#> mu[1917] 0.69 4000 1
#> mu[1918] 0.70 4000 1
#> mu[1919] 0.66 4000 1
#> mu[1920] 0.79 4000 1
#> mu[1921] 0.99 2587 1
#> mu[1922] 0.58 3520 1
#> mu[1923] 0.97 2688 1
#> mu[1924] 0.84 2875 1
#> mu[1925] 0.92 2475 1
#> mu[1926] 0.76 2755 1
#> mu[1927] 0.43 2971 1
#> mu[1928] 0.79 3096 1
#> mu[1929] 0.75 4000 1
#> mu[1930] 0.75 3312 1
#> mu[1931] 0.91 2357 1
#> mu[1932] 0.51 3064 1
#> mu[1933] 0.88 2833 1
#> mu[1934] 0.80 2964 1
#> mu[1935] 0.78 2782 1
#> mu[1936] 0.81 3032 1
#> mu[1937] 0.93 2661 1
#> mu[1938] 0.63 4000 1
#> mu[1939] 0.83 2856 1
#> mu[1940] 0.86 2761 1
#> mu[1941] 0.74 3003 1
#> mu[1942] 0.76 4000 1
#> mu[1943] 0.87 2252 1
#> mu[1944] 0.73 4000 1
#> mu[1945] 0.59 4000 1
#> mu[1946] 0.85 2920 1
#> mu[1947] 0.82 3611 1
#> mu[1948] 0.94 2020 1
#> mu[1949] 0.87 3250 1
#> mu[1950] 0.80 4000 1
#> mu[1951] 0.78 3000 1
#> mu[1952] 0.89 2640 1
#> mu[1953] 0.60 4000 1
#> mu[1954] 0.93 1965 1
#> mu[1955] 0.99 2675 1
#> mu[1956] 0.97 2779 1
#> mu[1957] 0.77 3347 1
#> mu[1958] 0.71 4000 1
#> mu[1959] 0.92 2749 1
#> mu[1960] 0.69 3181 1
#> mu[1961] 0.84 2839 1
#> mu[1962] 0.95 2598 1
#> mu[1963] 0.76 4000 1
#> mu[1964] 0.93 2573 1
#> mu[1965] 0.90 2703 1
#> mu[1966] 0.87 2394 1
#> mu[1967] 0.85 4000 1
#> mu[1968] 0.62 4000 1
#> mu[1969] 0.95 2727 1
#> mu[1970] 0.95 2367 1
#> mu[1971] 0.88 3058 1
#> mu[1972] 0.95 2011 1
#> mu[1973] 0.91 3260 1
#> mu[1974] 0.96 2291 1
#> mu[1975] 0.84 3071 1
#> mu[1976] 0.50 4000 1
#> mu[1977] 0.83 3097 1
#> mu[1978] 0.71 4000 1
#> mu[1979] 0.83 2924 1
#> mu[1980] 0.91 2528 1
#> mu[1981] 0.82 3147 1
#> mu[1982] 0.72 3284 1
#> mu[1983] 0.76 3216 1
#> mu[1984] 0.71 4000 1
#> mu[1985] 0.80 3085 1
#> mu[1986] 0.74 4000 1
#> mu[1987] 0.62 3067 1
#> mu[1988] 0.71 3577 1
#> mu[1989] 0.88 2208 1
#> mu[1990] 0.74 3186 1
#> mu[1991] 0.71 4000 1
#> mu[1992] 0.91 3204 1
#> mu[1993] 0.79 2754 1
#> mu[1994] 0.82 2876 1
#> mu[1995] 0.32 2802 1
#> mu[1996] 0.81 4000 1
#> mu[1997] 0.74 3326 1
#> mu[1998] 0.97 2563 1
#> mu[1999] 0.51 3023 1
#> mu[2000] 0.77 3467 1
#> lp__ -1005.65 1870 1
#>
#> Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Apr 20 00:56:52 2018.
#> For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
#> and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
#> convergence, Rhat=1).5.3 Probit Model
The only difference between the logit and probit models are in the link function.
The probit model uses the normal distribution CDF function instead of the inverse logit.
\[
\begin{aligned}[t]
\pi_i &= \Phi(\eta_i) ,
\end{aligned}
\]
where \(\Phi\) is the standard normal distribution CDF.
The priors for the probit model are adjusted by a facto of 1.6, corresponding to dnorm(0) / dlogis(0),
\[
\begin{aligned}[t]
\alpha &\sim \mathsf{Normal}(0, 16), \\
\beta_k &\sim \mathsf{Normal}(0, 4) .
\end{aligned}
\]
The probit model in Stan is
data {
// response
int N;
int y[N];
// covariates
int K;
matrix[N, K] X;
// priors
real alpha_mean;
real alpha_scale;
vector[K] beta_mean;
vector[K] beta_scale;
}
parameters {
real alpha;
vector[K] beta;
}
transformed parameters {
// linear predictor
vector[N] eta;
vector[N] mu;
eta = alpha + X * beta;
// mu = Phi(eta);
// Phi_approx is faster
mu = Phi_approx(eta);
}
model {
alpha ~ normal(alpha_mean, alpha_scale);
beta ~ normal(beta_mean, beta_scale);
y ~ bernoulli(mu);
}
generated quantities {
// log-likelihood of each obs
vector[N] log_lik;
for (i in 1:N) {
log_lik[i] = bernoulli_lpmf(y[i] | mu[i]);
}
}
Fit the model.
turnout_fit_probit <-
sampling(turnout_mod_probit,
data = turnout_data)
#> Warning in is.na(x): is.na() applied to non-(list or vector) of type 'NULL'
#> Warning in FUN(X[[i]], ...): data with name alpha_mean is not numeric and
#> not used
#> Warning in is.na(x): is.na() applied to non-(list or vector) of type 'NULL'
#> Warning in FUN(X[[i]], ...): data with name beta_mean is not numeric and
#> not used
#> failed to create the sampler; sampling not done5.4 rstanarm
These models can also be estimated with the rstanarm function stan_glm.
turnout_fit_logit2
#> stan_glm
#> family: binomial [logit]
#> formula: vote ~ poly(age, 2) + educate + income + race
#> observations: 2000
#> predictors: 6
#> ------
#> Median MAD_SD
#> (Intercept) -1.7 0.2
#> poly(age, 2)1 21.2 2.6
#> poly(age, 2)2 -9.4 2.4
#> educate 0.2 0.0
#> income 0.2 0.0
#> racewhite 0.3 0.1
#>
#> Sample avg. posterior predictive distribution of y:
#> Median MAD_SD
#> mean_PPD 0.7 0.0
#>
#> ------
#> For info on the priors used see help('prior_summary.stanreg').For the probit model, the priors need to be reduced.
turnout_fit_probit2 <-
stan_glm(turnout_formula,
family = binomial(link = "probit"),
prior_intercept = normal(location = 0, scale = 8, autoscale = TRUE),
prior = normal(location = 0, scale = 1.5, autoscale = TRUE),
init = 0, chains = 1,
data = turnout)turnout_fit_probit2
#> stan_glm
#> family: binomial [probit]
#> formula: vote ~ poly(age, 2) + educate + income + race
#> observations: 2000
#> predictors: 6
#> ------
#> Median MAD_SD
#> (Intercept) -1.0 0.1
#> poly(age, 2)1 12.5 1.7
#> poly(age, 2)2 -5.3 1.6
#> educate 0.1 0.0
#> income 0.1 0.0
#> racewhite 0.2 0.1
#>
#> Sample avg. posterior predictive distribution of y:
#> Median MAD_SD
#> mean_PPD 0.7 0.0
#>
#> ------
#> For info on the priors used see help('prior_summary.stanreg').Questions
- Estimate the posterior distribution of the average marginal effect for each covariate using the methods in Hanmer and Kalkan (2012).
- Estimate the expected percent correctly predicted (ePCP) and percent correctly predicted (PCP) as discussed in the cosponsorship data.
- Estimate a generalized logit model to allow for asymmetric effects of covariates as described in the General Beetles example and Nagler (1994). Describe the substantive meaning of this generalization.
- Is there any difference in the fit of the probit and logit? Which observations fit better or worse.
- Estimate the model with a Student’s \(t\) CDF instead of logit or probit. This is called a robit model Liu (2005). Compare its fit and estimates to those of the logit. Which observations fit better or worse? Describe the substantive meaning of this generalization.
References
King, Gary, Michael Tomz, and Jason Wittenberg. 2000. “Making the Most of Statistical Analyses: Improving Interpretation and Presentation.” American Journal of Political Science 44 (2). [Midwest Political Science Association, Wiley]: 347–61. http://www.jstor.org/stable/2669316.
Hanmer, Michael J., and Kerem Ozan Kalkan. 2012. “Behind the Curve: Clarifying the Best Approach to Calculating Predicted Probabilities and Marginal Effects from Limited Dependent Variable Models.” American Journal of Political Science 57 (1). Wiley-Blackwell: 263–77. https://doi.org/10.1111/j.1540-5907.2012.00602.x.
Nagler, Jonathan. 1994. “Scobit: An Alternative Estimator to Logit and Probit.” American Journal of Political Science 38 (1). [Midwest Political Science Association, Wiley]: 230–55. http://www.jstor.org/stable/2111343.
Liu, Chuanhai. 2005. “Robit Regression: A Simple Robust Alternative to Logistic and Probit Regression.” In Applied Bayesian Modeling and Causal Inference from Incomplete-Data Perspectives, 227–38. John Wiley & Sons, Ltd. https://doi.org/10.1002/0470090456.ch21.